何者跳得高?

生活科學趣談

今天再來看一則 Derek Muller 的提問影片
Q:將步槍置放於木塊的正下方,當子彈射入木塊通過質心的中軸線時,如果子彈埋入木塊中而未擊穿木塊,那麼包著子彈的木塊會往上彈跳了某個高度。接著將步槍往右挪,讓子彈射擊未通過質心的木塊右方,前後兩顆子彈的火藥量相同,而第二次射擊後子彈也未擊穿木塊。由於子彈的射擊方向偏離了質心,所以木塊在向上彈跳時也會造成旋轉。試問第二次木塊彈跳時其質心所能上升的最大高度比第一次高還是低?
1. 第二次較高
2. 第二次較低
3. 二次都一樣高

來看看結果:

這個實驗結果似乎跌破不少人的眼鏡,視頻播出後引來熱烈的討論,留言高達四千多則,其中不乏實際重複這個實驗來驗證結果的人,那麼二者的質心上升高度為什麼會相同呢?

解析:
簡單的說,由於二者均為 完全非彈性碰撞,所以二種模式的質心速度相同,質心動能相同,因此質心爬升的高度就相同。

或許有人會認為「這是以動量的角度來考量,這沒問題。但是若從能量的角度來思考時,第二種模式的總力學能不就不等於第一種的模式了?這個多出來的轉動動能是怎麼回事?」OK,接著我們以數學來分析:

1. 設木塊質量,子彈質量 m,子彈射入木塊前的速率為 v,子彈射入木塊後的質心速率為 V,在第一種模式中,由於 動量守恆

碰撞前子彈動量 mv = 碰撞後系統質心動量(m)V,因此 V = mv / (m)。子彈初動能為 0.5mv2,射入後系統的質心動能為 0.5(m)V2。因此損失的動能 = 0.5mv2 – 0.5(m)V = (0.5mv2) [M/(M+m)],也就是損失的動能佔了原先子彈動能的 [M/(M+m)]倍,其轉換成為粉碎木材纖維所做的功及產生的熱能

2. 在第二種模式中,動量還是守恆,因此仍然 mv = (m)VV = mv / (m)。接著還要考慮 角動量守恆 的情況

設木塊的寬度為 ,並假設子彈射入點往右偏移了 L/4距離,因此相對於質心而言,子彈入射前的角動量為 mvL/4。若碰撞發生後,系統的旋轉角速率為 ω,木塊的 轉動慣量 為 I ,因此射入後系統整體的角動量是 I ω + m(L/4)ω。如果木塊的高遠小於寬,那麼木塊的轉動慣量可以視為長桿的例子,其繞中心軸的轉動慣量 I = ML2/12。根據子彈射入前後的角動量守恆,可得出系統旋轉的角速率 ω = 12mv / [L(3m + 4M)]。因此系統的轉動動能 = 0.5 I ω2 + 0.5 m(L/4)2 ω2= (0.5mv2) [(12mM+9m2)/(3m+4M)2],也就是佔了原先子彈動能的 (12mM+9m2)/(3m+4M)2倍。

重點來了,這部分的轉動動能從哪來?既然兩種模式爬高的高度相同,那麼只剩下一種可能,那就是子彈鑽進木塊內所產生的熱能變少了,亦即子彈射入木塊內的距離會變短,來看一下兩種模式對照的畫面:

有趣的是,以鐵釘能深入孔洞的深度來測量時,第二種模式比第一種看起來約短了10mm左右。但是以X光探測時,二者的子彈深入距離卻又差不多,這一點連 Derek Muller 都覺得訝異。他則解釋說有97%的子彈動能損失變成熱能與1%變成轉動動能,他說這句話應有所本,也就是他應該有測量木塊與子彈的質量才得以說出這句話。他接著說:「這1%相對於97%是很微小的,以致於兩種模式下的子彈深入距離幾乎相同(97% vs. 96%)」,這樣的解釋很合理。但是他卻沒說明以鐵釘來實際測量時,二種模式下的鐵釘探測深度為何有很明顯的差距(選擇性跳過^^)。其實答案就在影片中的7分16秒處,因為在第二種模式中,由於子彈的慣性會造成其在木塊中的軌跡呈現弧形,既然這個射入孔洞是彎曲的,那麼使用筆直的鐵釘來測量時,當然量到較短距離時就會碰壁而無法轉彎繼續深入了!